Estatística Aplicada

Coeficiente de Variação 

O coeficiente de variação (CV) é particularmente útil quando se pretende tirar conclusões acerca da representatividade da média como medida estatística. A expressão do CV é dada por: 
×= %100
x
s CV 
E mede o grau de dispersão relativa. De modo geral considera-se que: 
• CV ≤ %10 → Dispersão reduzida 
• CV ≤ %30 → Dispersão moderada 
• CV > %30 → Dispersão elevada


Para melhor interpretar o significado deste coeficiente, consideremos o exemplo seguinte: 
 Uma mesma peça é fornecida por dois fornecedores, A e B. A peça destina-se à indústria automóvel e o seu diâmetro deve ser de 1,3 cm. Tanto o fornecedor A como o B garantem estas dimensões no diâmetro médio das peças e estas são vendidas por ambos ao mesmo preço. De modo a decidir qual o fornecedor a escolher, com base nas garantias de qualidade oferecidas, o comprador recolheu uma amostra de 6 peças junto de cada fornecedor, tendo medido o diâmetro de cada uma. Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte.
Fornecedor A
Diâmetros (cm)

Fornecedor B
Diâmetros (cm) 
1,5 2,0 |1,4 1,2 |1,2 1,0| 1,0 1,5| 1,3 1,2| 1,3 0,9 

 Pode-se verificar a partir da tabela que cmxx BA == 3,1 . Porém, sA=0,14 cm e 
sB=18,5 cm. Sendo assim CVA=7% e CVB=18,5 % pelo que se pode concluir que as peças do fornecedor A terão diâmetros mais uniformes, optando-se então pelo fornecedor A. 

Assimetria 

 Uma distribuição de frequências diz-se simétrica quando os valores da moda, de média e da mediana coincidem entre si. Quando o valor da moda é inferior ao da mediana que, por sua vez, possui um valor menor que a média, a distribuição diz-se assimétrica positiva ou assimétrica à direita. No histograma da figura seguinte representa-se uma distribuição assimétrica positiva. Quando o valor da moda é superior ao da mediana que, por sua vez, possui um valor superior ao da média, a distribuição diz-se assimétrica negativa ou assimétrica à esquerda. 
No histograma da figura seguinte representa-se uma distribuição assimétrica negativa.
A assimetria é fácil de determinar graficamente, podendo dizer-se se uma distribuição é simétrica ou assimétrica (positiva ou negativa) pelo aspecto do seu histograma. Quando não se dispõem de meios gráficos o grau de assimetria de uma distribuição pode ser medido utilizando um indicador: o coeficiente de assimetria. 

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Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão 

A medida de dispersão são os desvio (absoluto) médio , a variância e o desvio padrão: o intervalo de variação e o intervalo Interquartis , que são medidas de distancia que costumam se apresentar conjuntamente com a primeira ; o Coeficiente de Variação permite concluir a representação da média ...

Intervalo de Variação
Calcula-se o Intervalo de Variação fazendo a diferença entre os valores máximo e mínimo da variável. Se os dados estiverem agrupados será o limite superior da última classe menos o limite inferior da primeira.

Considere-se como exemplo a seguinte tabela:

Como por definição: IV = Ponto MAX – Ponto MIN
Então, IV = 210 – 180 = 30
Portanto a maior diferença que será possível encontrar entre dois jogadores é de 30 cm. 
Desvio (absoluto) médio

Calcula-se somando as diferenças, em valor absoluto, entre os valores observados da variável e a sua média, ponderadas pelo número das observações.

Com dados agrupados:
- Calcula-se a média, coluna 7
- Calcula-se a diferença entre a marca e média, coluna 8
- Tomam-se os valores absolutos da coluna 8, coluna 9
- Multiplicam-se os valores da coluna 9 pelas respectivas frequências relativas. A soma da coluna 10 dá o desvio (absoluto) médio.
Variância e Desvio Padrão

Estas duas medidas apresentam-se juntas porque o Desvio Padrão é a raiz quadrada positiva da Variância.

Como os módulos são difíceis de trabalhar matematicamente no desvio médio substitui-se essa operação pelo quadrado dos desvios, obtendo a Variância. Depois calcula-se o Desvio Padrão para regressar a um indicador expresso nas mesmas unidades.

Com dados agrupados:
- Calcula-se a média, coluna 7
- Calcula-se a diferença entre a marca e média, coluna 8, repetida na 11
- Elevam-se os valores da coluna 11 ao quadrado, coluna 12
- Multiplicam-se os valores da coluna 12 pelas respectivas frequências relativas. A soma da coluna 13 dá a variância. A raiz quadrada desta é o desvio padrão.

No nosso exemplo, a média dos desvios em relação à média, indicada pelo desvio-padrão é de 6,35 cm, pouco diferindo da obtida pelo desvio médio: 5,23 cm. Em qualquer dos casos a interpretação é semelhante: quanto maior for o desvio, maior é a dispersão dos dados.

Exemplos : 
15. Suponha que se adicionou 100 a cada um dos valores de uma amostra.
15.1. O que é que acontece ao:
    a) Desvio padrão.
    b) Amplitude interquartil.
    c) Amplitude.
    d) Média.
    e) Mediana.
15.2. Suponha que obteve o valor de -40.5 para a variância. O que conclui?
15.3. Suponha que a amplitude de uma amostra é 105.4 e que ao calcular o desvio padrão obteve o valor 260.6. O que conclui?

SOLUÇÃO:  

a) o desvio padrão mantem-se.
b) a amplitude interquartil mantem-se.
c) a amplitude mantem-se.
d) a média aumenta 100 valores.
e) a mediana aumenta 100 valores.
15.2 Podemos concluir que o valor obtido para a variância não está correcto.
 A variância nunca assume valores negativos. Esta propriedade resulta da sua definição.
15.3 Podemos concluir que ao calcular o desvio padrão cometemos algum erro.
O desvio padrão é, por definição e construção, uma medida da distância das observações da amostra, relativamente à média. A média, por sua vez, tem que estar incluída no intervalo [min. da amostra, máx. da amostra]. Assim, a amplitude da amostra terá que ser superior ao desvio padrão.



 http://estatisticax.blogspot.com.br/2008/02/medidas-de-disperso.html
 http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2003/icm24/probexerc.htm

Frequência Absoluta e Relativa

Olá, hoje vamos aprender mais sobre:

Frequência Absoluta e Frequência Relativa

             A frequência absoluta está associada ao número de vezes que um valor da variável é citado.  A frequência relativa é determinada em porcentagem, através da relação entre a frequência absoluta da variável e o somatório dos valores citados.

              Vamos representar situações cotidianas, a fim de demonstrar os processos de construção de tabelas com as frequências informadas.

Exemplo 1

Uma pesquisa foi realizada com os 200 funcionários de uma empresa de comércio atacadista, no intuito de analisarem as preferências por esportes. Dentre as opções esportivas foram fornecidas as seguintes opções: futebol, vôlei, basquete, natação, tênis e ciclismo. Observe os resultados:

Futebol: 70
Vôlei: 50
Basquete: 40
Natação: 20
Tênis: 15
Ciclismo: 5

Exemplo 2

Em uma empresa, os salários dos 60 funcionários foram divididos de acordo com a seguinte informação: 

Vamos determinar a frequência relativa dos salários dessa empresa:

Por Marcos Noé, para o Banco de Concurso de Sergipe.

Tabela de Frequências

A tabela de frequências é uma forma de representação da frequência de cada valor distinto da variável. Juntamente com as frequências, esta poderá incluir frequências relativas, frequências acumuladas e frequências relativas acumuladas.

De uma forma geral, a tabela de frequências é usada para variáveis categóricas, uma vez que no caso de uma variável contínua a maior parte dos valores terá frequência 1, o que não resolve o problema inicial de se resumir a informação. Neste caso, podem-se agrupar os valores da variável contínua em intervalos, transformando-a numa variável categórica e assim ter mais sentido a tabela de frequências respectiva.

Exemplo: 

Consideremos a seguinte tabela

Nome	Sexo	Nome	Sexo
Paula	F	Gonçalo	M
Manuel	M	Pedro	M
Carla	F	Cristina	F
Maria	F	Sofia	F
João	M	Suzana	F

Temos,

Sexo Masculino:

Frequência absoluta: 4
Frequência relativa: 4 em 10 = 40%

Sexo Feminino:

Frequência absoluta: 6
Frequência relativa: 6 em 10 = 60%

Neste exemplo, a frequência acumulada não tem muita utilidade pois o Sexo é uma variável nominal, não havendo desta forma, "categorias anteriores".

Assim a tabela de frequências da variável Sexo será: 

Variável	Frequência absoluta (n)	Frequência relativa (%)
Sexo
M	4	40%
F	6	60%
Total	10	100%

Triola, M. F. Introdução à Estatística, 10a. edição. Rio de Janeiro: LTC Editora, 2008. 

Iezzi, G.; Dolce, O.; Degenszjan, D.; Périgo, R.; Almeida, N. Matemática - Ciência e Aplicações, 4a. edição. São Paulo: Editora Atual, 2006.

Tabelas de Frequências

Já sabemos que a variável quantitativa tem seus possíveis valores indicados por números. Veremos agora que, na elaboração de suas tabelas de frequências podemos deparar com duas situações.

Para isso vamos tomar como exemplo:

1)   A tabela abaixo mostra o numero médio de conduções utilizado por um grupo de alunos para chegar ao cursinho. Calcule a media, a mediana a moda e o desvio padrão desta distribuição.

Número de conduções	0	1	2	3
Frequência absoluta	3	7	4	1

1)   Ma = 1,2 ; Mo = 1; Me = 1 ; Dp =  0,8326