http://www.youtube.com/watch?v=cxeoUgLzdbA&feature=youtu.be
Pessoal infelizmente estamos com um pequeno problema no vídeo, mas se vocês clicarem no link a cima poderão vê-lo sem nenhum problema. Espero que gostem.

GEOMETRIA ANALTICA : AS bissetrizes dos quadrantes

O plano cartesiano é formado por dois eixos perpendiculares que se cruzam na origem das coordenadas (0,0), estabelecendo quatro quadrantes. A intersecção perpendicular dos eixos forma ângulos de 90º. 

No plano cartesiano, ao traçarmos uma reta, que passa pelo ponto (0,0) formando um ângulo de 45º com a abscissa (eixo horizontal), estamos dividindo um quadrante ao meio e determinando a sua bissetriz.

Podemos traçar as bissetrizes dos quadrantes de duas formas: bissetriz dos quadrantes pares e bissetriz dos quadrantes ímpares.


Bissetriz dos quadrantes ímpares

A bissetriz dos quadrantes ímpares é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes I e II.


O coeficiente angular será igual a m = tg 45° = 1. Um dos seus pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b terão as ordenadas e abscissas iguais, por exemplo, (4,4), (5,5), (6,6), (7,7),... .

Considerando qualquer um desses pontos e o coeficiente angular igual a 1, podemos concluir que a reta que representa a bissetriz dos quadrantes ímpares terá - de acordo com os conceitos de Geometria Analítica - a equação fundamental: y – y0 = m (x – x0).
Substituindo o ponto (2,2), temos:

y – 2 = 1 (x – 2)
y – 2 = x – 2
y = x

Bissetriz dos quadrantes pares A bissetriz dos quadrantes pares é determinada por uma reta que intercepta o ponto (0,0) traçando as bissetrizes dos quadrantes II e IV.



O coeficiente angular será igual a m = tg 135° = -1. Um dos seus pontos será (0,0) e todos os outros pontos pertencentes à reta b terão os valores das ordenadas opostos aos valores das abscissas, por exemplo, (4,-4), (5,-5), (6,-6), (7,-7),... .

Considerando qualquer um desses pontos e o coeficiente angular igual a -1, podemos concluir que a reta que representa a bissetriz dos quadrantes pares terá - de acordo com os conceitos de Geometria Analítica - a equação fundamental: y – y0 = m (x – x0).
y – (–2) = –1 (x – 2)
y + 2 = –x + 2
y = – x  

GEOMETRIA ANALÍTICA :Área da região triangular em relação as coordenadas dos vértices .

Podemos determinar a área de uma região triangular utilizando expressões relacionadas à Geometria Plana. Nas situações envolvendo coordenadas de posicionamento dos vértices de um triângulo, os cálculos são efetuados de acordo com o determinante de uma matriz quadrada, formada pelos valores das coordenadas dos pontos de posicionamento. A matriz construída deverá conter em uma de suas colunas os valores das abscissas e em outra, os valores das ordenadas dos pontos, uma terceira coluna será completada com valores iguais a 1.

A área do triângulo será determinada pela metade do valor da determinante. Veja:

Os vértices de um triângulo possuem as seguintes coordenadas de localização: A(–1, 1), B(4,0) e C(–3, 3). Vamos determinar a área dessa região triangular utilizando os princípios do determinante de uma matriz.

Aplicando Sarrus

Diagonal principal 
(–1) * 0 * 1 = 0
1 * 1 * (–3) = –3
1 * 4 * 3 = 12

Soma: 0 – 3 + 12 = 9

Diagonal secundária
1 * 0 * (–3) = 0
(–1) * 1 * (3) = – 3
1 * 4 * 1 = 4

Soma: 0 – 3 + 4 = 1

D = (Somatório do produto dos elementos da diagonal principal) – (Somatório do produto dos elementos da diagonal secundária)

D = 9 – 1
D = 8

A = |D| / 2
A = 8 / 2
A = 4

A área da região triangular com os vértices localizados nos pontos A(–1, 1), B(4,0) e C(–3, 3) corresponde a 4 unidades de área.

Estudo aprofundado, Geometria Analítica

A Geometria Analítica foi criada por René Descartes (1596 – 1650), no intuito de relacionar a álgebra com a Geometria, possibilitando um estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Com o auxílio da Geometria Analítica (GA) podemos, através de métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e de figuras. No estudo da GA trabalharemos constantemente com o Plano Cartesiano.

Distância entre dois pontos

Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabelecer através de métodos algébricos uma fórmula geral para calcular a distância entre pontos.


Ao analisarmos a construção acima podemos observar o triângulo retângulo ABC, sendo que a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. Sabemos que o triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras hip² = cat² + cat².
Ao aplicarmos Pitágoras teremos a seguinte situação:

Cateto: segmento AC      x_B – x_A
Cateto: segmento BC      y_B – y_A
Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)

d²AB = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²

Ponto Médio de um Segmento e Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustração abaixo e demonstrar o ponto médio entre eles, sugerindo uma fórmula geral para esse tipo de cálculo.



Podemos notar que no eixo x a distância entre x_A:x_M e x_M:x_B são iguais e no eixo y a distância entre y_A:y_M e y_M:y_B são iguais.

Podemos concluir que:

Para constatarmos se três pontos estão alinhados, podemos montar a seguinte matriz dos coeficientes:

x1      y1            1 x2      y2           1 x3      y3           1

=0

Calculando o determinante e obtendo igualdade 0, podemos afirmar que os pontos estão alinhados.


Exemplo 1
Os pontos possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(4,6) e B(3,1). Calcule a distância entre esses pontos.


A distância entre A e B corresponde a √26 unidades.

Exemplo 2
Verifique se os pontos P(2,3), Q(1,5) e R(6,2) estão alinhados.

x1    y1    1 x2    y2    1 x3    y3    1

= 0

2      3        1       1      5        1 6      2        1

= 0

Calculando D (determinante):
[10 + 18 + 2 – 30 – 3 – 4]
30 – 30 – 3 – 4
– 3 – 4
– 7
Temos que o D = – 7 e –7 ≠ 0. Portanto, os pontos P, Q e R não estão alinhados.

Vídeo Aula de Geometria Analítica para vestibulares!

Olá morecos, voltamos hoje com mais uma do Central de Produções. Viemos aqui com o objetivo de te ajudar na explicação da Geometria Analítica, Bom estudo !

Vídeo sobre Geometria Analitica

Olá morecos, voltamos hoje com mais uma do Central de Produções. Viemos aqui com o objetivo de te ajudar na explicação da Geometria Analítica, Bom estudo !

Exercícios Geometria Analitica

Olá morecos, voltamos hoje com mais uma do Central de Produções. Viemos aqui com o objetivo de te ajudar na explicação anterior, então estão ai alguns exercícios sobre Geometria Analítica. Esperamos que gostem e Boa leitura!

Questão 1

Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Resposta

Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:



Questão 4(Fuvest-SP)

Se (m+2n , m – 4) e (2 – m , 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

a) – 2

b) 0

c) √2

d) 1

e) ½

Resposta

Questão 3

Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).

Resposta