Estudo aprofundado, Geometria Analítica

A Geometria Analítica foi criada por René Descartes (1596 – 1650), no intuito de relacionar a álgebra com a Geometria, possibilitando um estudo mais aprofundado de objetos geométricos. Com o auxílio da Geometria Analítica (GA) podemos, através de métodos algébricos, estudar as propriedades do ponto, da reta e de figuras. No estudo da GA trabalharemos constantemente com o Plano Cartesiano.

Distância entre dois pontos

Observe os pontos A e B no plano cartesiano, iremos estabelecer através de métodos algébricos uma fórmula geral para calcular a distância entre pontos.


Ao analisarmos a construção acima podemos observar o triângulo retângulo ABC, sendo que a distância entre os pontos A e B nada mais é que a hipotenusa do triângulo. Sabemos que o triângulo retângulo admite a relação de Pitágoras hip² = cat² + cat².
Ao aplicarmos Pitágoras teremos a seguinte situação:

Cateto: segmento AC      x_B – x_A
Cateto: segmento BC      y_B – y_A
Hipotenusa: segmento AB (distância entre os pontos)

d²AB = (x_B – x_A)² + (y_B – y_A)²

Ponto Médio de um Segmento e Condição de alinhamento de três pontos

Dados os pontos A e B vamos analisar a ilustração abaixo e demonstrar o ponto médio entre eles, sugerindo uma fórmula geral para esse tipo de cálculo.



Podemos notar que no eixo x a distância entre x_A:x_M e x_M:x_B são iguais e no eixo y a distância entre y_A:y_M e y_M:y_B são iguais.

Podemos concluir que:

Para constatarmos se três pontos estão alinhados, podemos montar a seguinte matriz dos coeficientes:

x1      y1            1 x2      y2           1 x3      y3           1

=0

Calculando o determinante e obtendo igualdade 0, podemos afirmar que os pontos estão alinhados.


Exemplo 1
Os pontos possuem as seguintes coordenadas no plano cartesiano: A(4,6) e B(3,1). Calcule a distância entre esses pontos.


A distância entre A e B corresponde a √26 unidades.

Exemplo 2
Verifique se os pontos P(2,3), Q(1,5) e R(6,2) estão alinhados.

x1    y1    1 x2    y2    1 x3    y3    1

= 0

2      3        1       1      5        1 6      2        1

= 0

Calculando D (determinante):
[10 + 18 + 2 – 30 – 3 – 4]
30 – 30 – 3 – 4
– 3 – 4
– 7
Temos que o D = – 7 e –7 ≠ 0. Portanto, os pontos P, Q e R não estão alinhados.

Vídeo Aula de Geometria Analítica para vestibulares!

Olá morecos, voltamos hoje com mais uma do Central de Produções. Viemos aqui com o objetivo de te ajudar na explicação da Geometria Analítica, Bom estudo !

Vídeo sobre Geometria Analitica

Olá morecos, voltamos hoje com mais uma do Central de Produções. Viemos aqui com o objetivo de te ajudar na explicação da Geometria Analítica, Bom estudo !

Exercícios Geometria Analitica

Olá morecos, voltamos hoje com mais uma do Central de Produções. Viemos aqui com o objetivo de te ajudar na explicação anterior, então estão ai alguns exercícios sobre Geometria Analítica. Esperamos que gostem e Boa leitura!

Questão 1

Demonstre que o triângulo de vértices A(8 , 2), B(3 , 7) e C(2 , 1) é isósceles. Em seguida, calcule seu perímetro.

Resposta

Para demonstrar que o triângulo ABC é isósceles se faz necessário mostrar que ele possui dois lados com a mesma medida. Assim, vamos calcular a distância entres seus vértices, que será a medida de cada lado.

Agora, vamos calcular o seu perímetro. Lembrando que perímetro é a soma das medidas dos lados e é representado por 2P, temos:



Questão 4(Fuvest-SP)

Se (m+2n , m – 4) e (2 – m , 2n) representam o mesmo ponto do plano cartesiano, então mn é igual a:

a) – 2

b) 0

c) √2

d) 1

e) ½

Resposta

Questão 3

Determine o valor de x para que o ponto M(2 , 3) seja o ponto médio do segmento de extremos A(x , 5) e B(3 , x).

Resposta

GEOMETRIA ANALÍTICA ...

Boa tarde pessoal , gostaria de pedir a vocês que deem uma olhada no NOSSO MAIS NOVO ASSUNTO . GEOMETRIA ANALÍTICA!

Para começar o estudo da geometria analítica, é necessário conhecer o Plano Cartesiano:

O Eixo Y (linha vertical) é chamado de eixo das ordenadas, enquanto que o Eixo X (linha horizontal), é chamado de eixo das abscissas.

O ponto P (ponto vermelho da figura) possui duas coordenadas: X e Y , que indicam em que lugar dos eixos das ordenadas e abscissas ele se encontra. Representa-se isso por (Xp, Yp).

Os números romanos nos cantos mostram os quadrantes do plano cartesiano. Os pontos do eixo X que estão nos quadrantes II e III são negativos, enquanto que em I e IV são positivos. Os valores de Y nos quadrantes I e II são positivos, e nos restantes (III e IV), esses valores são negativos.

Bissetrizes

As bissetrizes são retas que cortam exatamente o centro do plano cartesiano ( ponto (0, 0) ), e formam um ângulo de 45º com os eixos X e Y. As coordenadas dos pontos que estão sobre a bissetriz que se encontra nos quadrantes paressão sempre opostos (se X for positivo, Y será negativo, e vice-versa).

Já os pontos sobre a bissetriz dos quadrantes ímpares, terão os valores de X e Y iguais. Veja no desenho abaixo

Se soubermos as coordenadas de dois pontos no plano cartesiano (ponto A e B), é possível determinar a sua distância, utilizando o teorema de Pitágoras (a² = b² + c²)

Vídeo sobre Estatística

Este vídeo é apenas pequena demonstração do que é estatística, que por sinal, é um assunto bastante retratado aqui no blog. Espero que gostem e que tenham um bom proveito, e que isso possa ajudar bastante no aprendizado, mas devemos lembrar que na matemática o aprendizado vem com pratica.

Representação Gráfica

Olá morecos, estamos de volta com mais um capitulo da nossa Central de Produções. Hoje queremos passar para vocês como se faz na Representação Gráfica!

Os dados de uma pesquisa podem ser apresentados de várias maneiras. Os meios de comunicação utilizam em geral, gráficos e tabelas para apresentar esses dados. Isso ocorre porque esses recursos possibilitam uma apresentação dos resultados de uma pesquisa. As tabelas, por exemplo, são utilizadas para organizar os dados e apresentá-los de maneira mais simples ao leitor. Já os gráficos permitem uma melhor visualização e também uma análise mais detalhada dos dados apresentados.

Existem diversos tipos de gráficos, sendo que a escolha do mais apropriado para cada situação depende de vários fatores, como o objetivo da pesquisa ou até mesmo as particularidades das informações a serem apresentadas. Neste tópico, iremos estudar os gráficos de barras, setores, linhas, além dos pictogramas e do histograma.

Gráfico de Barras

O gráfico de barras (ou de colunas) é utilizado, em geral, para representar dados de uma tabela de frequências associadas a uma variável qualitativa. Nesse tipo de gráfico, cada barra retangular representa a frequência ou a frequência relativa da respectiva opção da variável.

Veja a seguir um exemplo de gráfico de barras:

Desmatamento na Amazônia cresce 3,8%

Em 28/11, o Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) informou que o desmatamento na região da Amazônia, medido entre agosto de 2007 e julho de 2008, foi de 11.968 km², de acordo com o resultado do Projeto de monitoramento na Amazônia Legal (Prodes). A taxa 2007-2008 é 3,8% maior que o desmatamento medido no período anterior.

Gráfico de Linhas

O gráfico de linhas (ou de segmentos) é utilizado, em geral, para representar a evolução dos valores de uma variável no decorrer do tempo.

Veja alguns exemplos de gráficos de linhas a seguir:

Evolução da população residente em Portugal 1861 - 2007

Gráfico de Setores

O gráfico de setores, também conhecido como “gráfico de pizza”, é utilizado, em geral, para representar partes de um todo.

Veja a seguir uma tabela e um gráfico de setores indicando os setores que produzem os gases que intensificam o efeito estufa.

Histograma

As frequências absolutas e as relativas de dados agrupados em intervalos de classes podem ser representadas por meio de um tipo de gráfico denominado histograma, o qual é composto de retângulos justapostos cujas bases são apoiadas em um eixo horizontal.

Observe a seguinte situação:

Em um concurso público realizado pela prefeitura de certo município, 200 candidatos foram submetidos a uma prova escrita. A distribuição de frequências segundo as notas obtidas pelos candidatos está representada na tabela.

Veja a seguir um histograma referente à frequência absoluta e outro referente à frequência relativa.

Pictograma

A fim de tornar os gráficos mais atraentes, os meios de comunicação, como revistas, jornais, entre outros, costumam ilustrá-los com imagens relacionadas ao contexto do qual as informações fazem parte. Essa forma de representação é denominada pictograma ou gráfico pictórico.

Nesse tipo de representação, assim como nos gráficos tradicionais, as dimensões das imagens devem ser proporcionais ao dados apresentados.

Veja alguns exemplos de gráficos pictóricos:

 http://professorandrios.blogspot.com.br/2011/08/representacao-grafica-de-dados.html